M.C.U.

Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme describe el movimiento de un objeto que se mueve a lo largo de una circunferencia de radio r con una velocidad constante.

Para cada tiempo t nuestro objeto habrá recorrido un pequeño angulo α.

Llamamos T mayuscula (periodo) al tiempo que tarda nuestro objeto en dar una vuelta completa, y f (frecuencia) al numero de vueltas por unidad de tiempo que da nuestro objeto. T = 1/f

Nuestra circunferencia de radio r tendra una logitud de 2πr.

Como hemos dicho, nuestro objeto tendrá una velocidad constante. Asi que para un intervalo de tiempo determinado, nuestro objeto habra barrido un ángulo determinado y para tiempos iguales barrera ángulos iguales.

Si tomamos cada vez periodos de tiempo mas pequeños [Lim_Δt→0] nos quedara :

dα/dt = y esto sera constante en todo momento.

Si integramos esta expresión nos quedara algo asi:

α = cte.t

Supongamos que el angulo que hemos recorrido es 2π (ya sabemos que es una vuelta completa en radianes). La expresión queda entonces:

2π = cte.T

T mayuscula porque hemos dicho antes que era el tiempo en dar una vuelta completa. Despejamos ahora nuestra constante desconocida y la llamamos w:

w = 2π/T    ;   α = w.t

w es la velocidad angular y se mide en radianes/s

Ahora recorremos una vuelta completa. Si lo hacemos con velocidad constante, nuestra velocidad sera (espacio/tiempo) V=2πr/T, pero como a 2π/T lo hemos llamado w (velocidad angular), nos quedara esta expresión:

V = w.r

La velocidad de un objeto en movimiento circular sera igual a su velocidad angular por el radio de la circunferencia que describe.



Ecuacción de la posición de un objeto en movimiento circular

Como sabemos por nuestras nociones de vectores la posición de un objeto es 2D se expresa del siguiente modo:

r_(t)= i (rx) + j (ry)

Siendo r el vector posición del objeto, i y j los vectores unitarios en el eje x y eje y respectivamente y rx y ry las coordenadas x e y del objeto.

Calculando las componenetes rx e ry de nuestro objeto gracias a la trigonometria.

rx = r.senα
ry = r.cosα

Luego nuestra ecuaccion de la posición queda:

r_(t) = i r.senα + j r.cosα = r(i.senα + j.cosα)

Ahora sabiendo que α = wt ya que lo calculamos antes, sustituimos:

r_(t) = r(i.senwt + j.coswt)

Pues ya tenemos nuestra ecuacción para la posición de un objeto que se mueve a lo largo de una circunferencia.

La velocidad es la primera derivada de la posición (V = dx/dt). Como ya tenemos la ecuacción de la posición siendo r la posición de nuestro objeto. la velocidad sera V_(t) = dr/dt. Asi que tenemos que derivar la ecuacción de la posicion:

V_(t) = r.w (i(-senwt)+ j(coswt))

Debemos recordar que:
d(sen(ƒ(x)))/dx = (derivada de ƒ(x)).cos(ƒ(x))
d(cos(ƒ(x)))/dx = -(derivada de ƒ(x)).sen(ƒ(x))

Hemos dicho al principio que nuestro objeto se mueve con velocidad constante, por lo tanto seria lógico que su aceleración fuese 0, ya que la variación de la velocidad es cero. Sin embargo nuestra velocidad no es simplemente un numero sino que es un vector, si ves la ilustración veras que es un vector tangente a la circunferencia para cada posición de nuestro objeto.

Así que nuestra velocidad si que varia en cada instante, lo que pasa es que solo varia en dirección y no en modulo.

Esto quiere decir que podemos movernos a 10m/s de forma constante pero aun asi nuestro vector velocidad estara cambiando permanentemente de dirección. Y para cambiar la velocidad necesitamos aceleración.

Luego nuestro objeto si que va a tener una aceleración (que llamaremos centripeta) que va a variar la dirección del vector velocidad.

Sabemos que la a = dV/dt, asi que tendremos que derivar la ecuacción de la velocidad que obtuvimos anteriormente:

V_(t) = r.w (i(-senwt)+ j(coswt))

derivando

a_(t) = r.w (i(-w.coswt) + j(-w.senwt)) = - r.w² (i(coswt) + j(senwt))

Y como r_(t) = r(i.senwt + j.coswt)

a_(t) = -w².r

Tanto a como r son vectores, si queremos espresarlo de forma escalar diremos:

a = w².r

Aquí otra explicación de la aceleración centrípeta.

Bueno, ya sabemos que V = w.r, si despejamos w = V/r y sustituimos w en la ecuacción de la aceleración, nos queda:

a = (V/r)².r = (V²/r²).r

a_c = V²/r



Set de problemas

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