Movimiento en 2D

Movimiento en 2D

Después de calcular las ecuaciones del movimiento para un objeto que se mueve en una sola dimensión, debemos trasportar esto a las 2D.

Recordemos que nuestra ecuación para el movimiento era esta:

X_(t) = X₀+V₀t+½at²

Tambien tenemos que tener en cuenta como localizar un objeto en 2 dimensiones mediante su vector posición

Si llamamos r al vector posición final de nuestro objeto y r₍₀₎ al vector posición inicial la ecuacción quedara:

r_(t) = r₀+V₀t+½at²

Donde r, r₀, V₀ y a serán vectores.

La forma de proceder que nuetros problemas en 2 dimensiones sera descomponiendo la velocidad y la aceleración de nuestro objeto en sus componentes y planteando dos ecuaciones de movimiento, una para el eje x y otra para el eje y.

X_(t) = X₀+V_0xt+½a_xt²
Y_(t) = Y₀+V_0yt+½a_yt²

Donde:

X₀ = coordenada x de la posición inicial
Y₀ = coordenada y de la posición inicial
V_0x = componente x del vector velocidad inicial
V_0y = componente y del vector velocidad inicial
a_x = componente x de la aceleración
a_y = componenete y de la aceleración

Veamos este ejemplo:

Un objeto es lanzado desde el suelo con un ángulo α con el suelo (eje x) a una velocidad V₀.

Seleccionando de esta forma el eje de coordenadas tenemos tanto X₀ como Y₀ ya que el punto de partida es (0,0).

Necesitamos calcular las componentes del vector velocidad, utilizando trigonometria basica sabemos que:

V_0x = V₀.cosα
V_0y = V₀.senα

La aceleración es mas sencilla ya que en el eje x no hay aceleración y en el eje y se nos dice que actua la aceleración de la gravedad que es -g (negativa ya que se opone al movimiento ascendente del objeto en el eje y)

Escribamos entonces las ecuacciones:

X = 0+V₀.cosαt+0
Y = 0+V₀.senαt-½gt²

X = V₀.cosαt
Y = V₀.senαt-½gt²

Queremos saber en que momento y a que distancia caera nuestro objeto. Si el objeto cae al suelo quiere decir que y=0, luego:

Y = Vsenαt-gt²/2 =(Vsenα-gt/2).t = 0

Ó t=0 que es nuestro momento inicial ó

Vsenα-gt/2 = 0

luego

t = (2Vsenα)/g

Ese sera el tiempo de vuelo de nuestro objeto. Si queremos saber la coordenada X donde aterrizara, simplemente sustituimos el tiempo t en la ecuacción de las x:

X = Vcosα((2Vsenα)/g)

Ejemplo: Si la velocidad inicial del objeto es 20m/s y el angulo 45^°, suponiendo g = 9,8m/s²

t = 2,88 s
x = 40,72 m