Trabajo y Energía

Trabajo y energía de una fuerza constante

Vamos a combinar dos de las ecuaciones que ya conocemos en una sola:

V² = V_o² + 2a(X-X_o) y F = ma

Vamos a despejar la aceleración de esta ultima a = F/m y a sustituirla en la primera, tambien vamos a llamar a X-X_o = d (distancia recorrida por nuestro objeto):

V² = V_o² + 2.d.F/m
V² - V_o² = 2.d.F/m
½mV² - ½mV_o² = F.d

La expresión ½mV² recibe el de Energia cinetica y esta relacionada con el cambio en la velocidad del objeto.

Como vemos la variación de la energia cinetica E_c² - E_c¹ es igual la fuerza que se aplica por la distancia durante la que se aplica.

A la expresión F.d la llamaremos trabajo realizado por la fuerza y se expresa con la letra W. Asi queda:

ΔE_c = E_c² - E_c¹ = F.d = W

ElWse mide en N.m y recibe el nombre de Julio, J

Vamos a suponer que la única fuerza que actúa sobre nuestro objeto es la fuerza de la gravedad que ya sabemos que es -mg. Asi que nuestra expresión quedaría:

½mV² - ½mV_o² = - m.g.d

Vamos a expresar otra vez la distancia recorrida por nuestro objeto como X-X_o, quedándonos:

½mV² - ½mV_o² = - m.g.(X-X_o)
½mV² - ½mV_o² = - m.g.X + m.g.X_o
½mV_o² + m.g.X_o = ½mV² + m.g.X

Llamaremos m.g.X a la energía potencial, en este caso gravitatoria. A si que diremos que la suma de la energía cinética inicial mas la energía potencial inicial debe ser igual a la energía cinética final mas la energía potencial final.

Esto quiere decir que la energía total del sistema no varia, se conserva. Hay que tener cuidado al usar esta ecuación y saber de donde sale la fuerza que genera la energía potencial, ya que en este caso hemos supuesto que la única fuerza que afecta al objeto es la gravedad, pero en otros casos puede haber otras fuerzas, como la fuerza elástica de un muelle, etc...

Vamos a ver ahora como varia el trabajo realizado con respecto del tiempo.

ΔW/Δt = F.Δx/Δt

Vemos que en un pequeño instante Δt se realizara un pequeño trabajo ΔW. Si tomamos nuestro incremento de tiempo cercano a 0, obtendremos :

dW/dt = F.dx/dt

Como sabemos dx/dt es la velocidad:

dW/dt = F.v

A dW/dt lo llamaremos potencia P (ritmo al que se genera trabajo)

P = F.v

Su unidad es J/s y se le llama vatio o watt.

Trabajo y energía cuando la fuerza no es constante

Hasta ahora hemos supuesto que la fuerza que se aplicaba a nuestro cuerpo era constante en todo momento, vamos a ver como cambia la cosa al suponer que nuestra fuerza varia en funcion de la distancia.

Para empezar no tendremos simplemente una fuerza F sino que la fuerza sera una función que variara su valor, es decir F(x).

Como vemos en el gráfico la función F(x) toma valores distintos para posiciones (X) distintas. Así que ahora no podemos decir que el trabajo de la fuerza es simplemente F.d ya que F varia a lo largo de la distancia d.

Como siempre hacemos con estos problemas vamos a tomar una rebanada muy estrecha de este gráfico y es esa pequeña porción supondremos que nuestra fuerza es constante.

El ancho de esta porción sera Δx y el alto sera el valor de la función en esa misma distancia x, F(x). Ademas en esta pequeña rebanada la fuerza habrá realizado un pequeño trabajo ΔW.

Vamos a sumar todas estas pequeñas rebanadas para obtener nuestra fuerza completa.

ΣΔW = ΣF(x).Δx

Si tomamos el limite de Δx tendiendo a 0, obtendremos que:
W = E_c² - E_c¹ = ∫F(x) dx

Ve mos que nuestra fuerza ahora es una integral, ∫F(x) dx para calcular esta integral sabemos por calculo que debemos encontrar la primitiva de la función y evaluarla en los limites superior he inferior de la integral, asi que:

∫F(x) dx = G(x₂) - G(x₁)

Siendo F(x) = dG/dx

Si cambiamos de signo a la función tenemos F(x) = - dG/dx para terminar con la expresión:
E_c² - E_c¹ = G₁ - G₂

Llamaremos a nuestra función G(x) Energía potencial E_p y escribiremos:
E_c² + E_P² = E_c¹ + E_P¹

Luego E₂ = E₁, la energia total del sistema se conserva constante.