Las matemáticas que necesitamos

TRIGONOMETRIA

Lo mas importante de la trigonometria que debemos saber es identificar los lados de un triangulo rectangulo.

Veamos esta figura:



Lo mas normal en nuestros problemas de física es que necesitemos conocer alguno de los lados del triangulo que vemos en esta figura.

Es importante conocer de memoria a menos las dos reglas básicas de la trigonometria.

Como vemos en el gráfico anterior el lado c forma un angulo α con el eje de las x.

Con estos datos podemos conocer la dimensión de los lados a y b con las reglas de la trigonometria:

senα = a/c

cosα = b/c

luego

a = c senα
b = c cosα

También es necesario que conozcamos la relacion entre los tres lados de este triangulo rectangulo:

c²=a²+b²

Ademas no nos vendra mal recordar que:

tanα = senα/cosα = a/b

DERIVACIÓN

Derivada de una función en un punto

La derivada en un punto de una funcion ƒ(x) corresponde con la pendiente de la curva en ese punto.

Esto coincide con la tangente a la curva en ese punto.



Queremos saber la pendiente de la curva en el punto x, esta sera la tangente a la curva en ese punto. Pero por ese punto podemos trazar numerosas tangentes que nos darian distintos resultados.

Para ello vamos a tomar otro punto distante del primero una pequeña distancia h, es decir (x+h). El valor de la función en este nuevo punto sera ƒ(x+h).

Si unimos los dos puntos de la función con una recta (secante a la función) tendremos una aproximación a la recta tangente en nuestro punto.

Para que nuestra secante se aproxime lo maximo posible a la tangente, tenemos que hacer h lo mas pequeño posible, lo expresaremos entonces como un pequeño incremento de x, Δx.

Por trigonometria sabemos que la tanα = a/b en este caso:

a = ƒ(x+Δx)-ƒ(x)
b = Δx

Luego

tanα = (ƒ(x+Δx)-ƒ(x))/Δx

La derivada en ese punto se define como el limite cuando Δx tiende a cero, esto quiere decir que nuestro Δx se hace practicamente 0 y la tangente puede considerarse la pendiente de la función es ese punto:

ƒ^'(x) = Lim_Δx→0 (ƒ(x+Δx)-ƒ(x))/Δx

Funcion derivada de una función

La función derivada de nuestra función ƒ(x) nos informa de como crece ƒ(x) para cada uno de sus puntos.

Anteriormente hemos calculado la pendiente de una función en un punto, ahora la funcion ƒ^'(x) nos dira como crece o decrece la funcion ƒ(x) para todos los valores de x.

Vamos a ver un ejemplo, supongamos nuestra función ƒ(x) = x²

sabemos que: ƒ^'(x) = Lim_Δx→0 (ƒ(x+Δx)-ƒ(x))/Δx

Entonces:

ƒ^'(x) = Lim_Δx→0 ((x+Δx)² - x²)/Δx

ƒ^'(x) = Lim_Δx→0 (x² + Δx² + 2xΔx - x²)/Δx

ƒ^'(x) = Lim_Δx→0 (Δx (Δx + 2x))/Δx

ƒ^'(x) = Lim_Δx→0 (Δx + 2x)

Como Δx→0 ;  ƒ^'(x) = (0 + 2x)

ƒ^'(x) = 2x

Como vemos la derivada de nuestra función es otra función que depende de la posición x.

Podemos recordar las funciones derivadas mas comunes función derivada.


INTEGRACIÓN

Integral definida entre dos puntos

Vamos a observar esta figura por un momento

Supongamos que queremos calcular el valor de la superficie S que vemos en esta figura. Vemos que el área esta limitada por el valor de la funcion ƒ(x) y dos rectas paralelas al eje y en los valores a y b de la función.

Esto nos supone un problema porque la forma irregular de la función ƒ(x) nos impide usar cualquier formula de cálculo de áreas conocida.

Para solucionar ente problema vamos a dividir el área total en pequeñas porciones rectangulares de las que podamos calcular su área.

Vamos a dividir el area en porciones de ancho Δx y alto ƒ(x) es decir el valor de la función en la posición x.

si nuestro pequeño Δx se aproxima mucho a 0, se convertira en dx y nuestro pequeño rectángulo tendrá un pequeño igual a:

área del rectangulo = ƒ(x)dx

Ahora lo que tenemos que hacer es sumar todas las pequeñas áreas de nuestros rectangulos desde que x=a hasta x=b y obtendremos nuestra área total:

A_t = Σ_a→bƒ(x)dx

Esto se define como la integral definida entre a y b de ƒ(x)dx

∫_a^bƒ(x)dx

La integración es la operación inversa a la derivación, Vamos a ver un ejemplo.

supongamos que ƒ(x)=x², vamos a calcular su integral entre los valores 1 y 3.

Primero debemos suponer cual es la funcion g(x) que cumpla que g^'(x)=ƒ(x)

Si nuestra función tiene una potencia 2 sabemos que debemos empezar con una potencia 3 ya que perdemos un grado en el proceso de derivación, asi que supongamos que es ƒ(x)=x³

g(x) = 3x²

Como vemos nos sobra el 3, asi que nuestra primitiva (función cuya derivada es nuestra función buscada) sera:
g(x) = x³/3 + C

Esta C es cualquier constante (que no dependa de x) que se nos ocurra, y esto es porque al tomar la derivada de nuestra funcion g(x) cualquier constante que contenga su expresión desaparecerá del resultado.

Así que :
∫_a^bƒ(x)dx = g(x₂) - g(x₁)

Si x = 1 ; x³/3 = 1/3
Si x = 3 ; x³/3 = 9

Luego el área total sera
A_t = g(x₂) - g(x₁) = 9 - 1/3